Question

如圖所示，在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以7個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以4個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過Q點(diǎn)作射線QKWAB，交折線BC-CA于點(diǎn)G．點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）△ABC的形狀是

 

（直接填寫結(jié)論）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF-FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求t的值；
（3）射線QK能否把四邊形CDEF分成周長相等的兩部分？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由勾股定理可以判定）△ABC的形狀是直角三角形．
（2））①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2

6

7

≤t≤5）時(shí)根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出t的值；
②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7

6

7

）時(shí)，PB=PF+BF就可以得到；
（3）連接DF，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為周長相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；

解答：解：（1）∵在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC的形狀是直角三角形．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2

6

7

≤t≤5）時(shí)，
如圖1，QB=4t，DE+EP=7t
由△PQE∽△BCA，得

7t-20

50

=

25-4t

30

∴t=4

21

41

．
②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7

6

7

）時(shí)，
如圖2，已知QB=4t，從而cosB=

QB

PB

=

4t

PB

=

4

5

∴PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=

15

2

．
（3）射線QK能把四邊形CDEF分成周長相等的兩部分．
如圖3，連接DF，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形
∴QK過DF的中點(diǎn)O時(shí)，QK把矩形CDEF分為周長相等的兩部分，
此時(shí)QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=

QH+HB

4

=

12.5+16

4

=

57

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要運(yùn)用了相似三角形性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，正確找出題目中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．在本題中還要學(xué)會(huì)分類討論的思想的應(yīng)用．