Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=mx與雙曲線y=

n

x

相交于A、B（b，-2）兩點(diǎn)，矩形OCDE的邊CD恰好被點(diǎn)B平分，邊DE交雙曲線于F點(diǎn)，四邊形OBDF的面積為2．
（1）求n的值；
（2）求不等式mx≥

n

x

的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)矩形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式得到D（2b，-2），則矩形OCDE的面積=4b，再根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S_△OCB=S_△OEF=

1

2

|n|=-

1

2

n，然后利用四邊形OBDF的面積=矩形OCDB-S_△OCB-S_△OEF，可求出n；
（2）由于反比例解析式為y=-

2

x

，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），然后觀察函數(shù)圖象求解．

解答：解：（1）∵矩形OCDE的邊CD恰好被點(diǎn)B（b，-2）平分，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2b，-2），
∴矩形OCDE的面積=2b•2=4b，
∵S_△OCB=S_△OEF=

1

2

|n|=-

1

2

n，
而四邊形OBDF的面積=矩形OCDB-S_△OCB-S_△OEF，
∴4b-（-

1

2

）-（-

1

2

n）=2，
∵-2=

n

b

，即b=-

n

2

，
∴-2n+n=2，
∴n=-2；
（2）反比例解析式為y=-

2

x

，
把y=-2代入y=-

2

x

，得x=1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
∵雙曲線及過原點(diǎn)的直線均是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形，
∴它們的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
∴x≤-1或0＜x≤1時(shí)，mx≥

n

x

，
即不等式mx≥

n

x

的解集為x≤-1或0＜x≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及觀察函數(shù)圖象的能力．