Question

4．我們課本中有這樣一段敘述“要比較a與b的大小，可先求出a與b的差，再看這個(gè)差是正數(shù)，負(fù)數(shù)還是零．”由此可見，要判斷兩個(gè)代數(shù)式值的大小，只要考慮它們的差就可以了．試問：甲乙兩人兩次同時(shí)在同一糧店購買糧食（假設(shè)兩次購買糧食的單價(jià)不相同），甲每次夠買糧食100千克，乙每次夠了用去100元．
（1）假設(shè)x，y分別表示兩次購糧的單價(jià)（單位：元/千克），試用含x，y的代數(shù)式表示：甲兩次購買糧食共需付款100x+100y元，乙兩次共購買$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$千克糧食；若甲兩次購糧的平均單價(jià)為每千克Q₁元，乙兩次購糧的平均單價(jià)為每千克Q₂元，則Q₁=$\frac{x+y}{2}$元，Q₂=$\frac{2xy}{x+y}$元．
（2）規(guī)定：誰兩次購糧的平均單價(jià)低，誰的購糧方式就更合算，請你判定甲，乙兩人的購糧方式哪一個(gè)更合算，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩次購買糧食的單價(jià)及買的千克數(shù)，表示出甲兩次買糧食的錢數(shù)即可；用100元除以兩次單價(jià)，相加即可得到乙購買糧食的千克數(shù)；表示出甲兩次購買糧食的平均單價(jià)為Q₁元，乙兩次購買糧食的平均單價(jià)為Q₂元即可；
（2）由（1）得到Q₁-Q₂，通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，利用完全平方公式整理后判斷差為正數(shù)，可得出Q₁＞Q₂，即乙購買糧食的方式更合算些．

解答 解：（1）甲每次購買糧食共需要付款（100x+100y）元；
乙兩次共購買（$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$）千克的糧食；
${Q}_{1}=\frac{x+y}{2}$，${Q}_{2}=\frac{2xy}{x+y}$；
故答案為：（100x+100y）；（$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$）；$\frac{x+y}{2}$；$\frac{2xy}{x+y}$；
（2）乙購買糧食的方式更合算些，理由為：
Q₁-Q₂=$\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}$=$\frac{（x+y）^{2}-4xy}{2（x+y）}=\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x-y）²＞0，2（x+y）＞0，
∴$\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$＞0，
∴Q₁-Q₂＞0，即Q₁＞Q₂，
∴乙購買糧食的方式更合算些．

點(diǎn)評 此題考查了分式混合運(yùn)算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．在通常情況下，判斷兩個(gè)代數(shù)式值的大小，只要考慮它們的差就可以．