Question

5．我們把三角形中最大內角與最小內角的度數差稱為該三角形的“內角正度值”．如果等腰三角形的腰長為2，“內角正度值”為45°，那么該三角形的面積等于2或1．

Answer 1

分析 根據新定理，設最小角為x，則最大角為x+45°，再分類討論：當頂點為x+45°時，根據三角形內角和可求得x=45°，則可判斷此三角形為等腰直角三角形，易得此三角形的面積=2；當頂點為x時，根據三角形內角和定理可求得x=30°，所以此三角形為頂點為30度的等腰三角形，如圖，AB=AC=2，∠A=30°，作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，利用∠A=30°可得CD=$\frac{1}{2}$AC=1，則根據三角形面積公式計算出三角形ABC的面積=$\frac{1}{2}$CD•AB=1，綜上所述，該三角形的面積等于1或2．

解答 解：設最小角為x，則最大角為x+45°，
當頂點為x+45°時，則x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形為等腰直角三角形，此三角形的面積=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
當頂點為x時，則x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形為頂點為30度的等腰三角形，如圖，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴三角形ABC的面積=$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
綜上所述，該三角形的面積等于1或2．
故答案為1或2．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性質．