Question

17．已知AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，且AB∥CD，連接OB，OC．
（Ⅰ）如圖1，求∠BOC的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖2，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于點N，當OB=6，OC=8時，求⊙O的半徑及MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據切線的性質得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據平行線的性質得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）連接OF，則OF⊥BC，根據勾股定理就可以求出BC的長，然后根據△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑，根據△NMC∽△BOC就可以求出MN的長．

解答 解：（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）連接OF，則OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=10，
∵S_△BOC=$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•BC•OF，
∴6×8=10×OF，
∴0F=4.8，
∴⊙O的半徑為4.8，
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC，
∴$\frac{MN}{OB}=\frac{MN}{6}$，
即$\frac{MN}{6}=\frac{8+4.8}{8}$，
∴MN=9.6．

點評 本題考查了切線的判定與性質定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心與這點的連線平分兩切線的夾角．也考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質．