Question

3．兩個(gè)同心圓中，過大圓上一點(diǎn)B作大圓的弦BF，BG都和小圓相切，切點(diǎn)分別是A，C，經(jīng)過點(diǎn)A，C作大圓的弦DE．
（1）連接EF，求證：△ABE∽△EBF．
（2）求EF：AE．

Answer 1

分析 （1）連接OA，OC，F(xiàn)G，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥BF，OC⊥BG，AB=BC，求得AC∥FG，BF=BG，于是得到$\widehat{EF}=\widehat{DG}$，$\widehat{BF}$=$\widehat{BG}$，推出$\widehat{BE}=\widehat{BD}$，根據(jù)圓的性質(zhì)得到∠BEA=∠BFE，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{BF}=\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{EF}$，求得$\frac{BE}{AB}=\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OA，OC，F(xiàn)G，
∵BF，BG都和小圓相切，切點(diǎn)分別是A，C，
∴OA⊥BF，OC⊥BG，AB=BC，
∴AB=AF，BC=CG，
∴AC∥FG，BF=BG，
∴$\widehat{EF}=\widehat{DG}$，$\widehat{BF}$=$\widehat{BG}$，
∴$\widehat{BE}=\widehat{BD}$，
∴∠BEA=∠BFE，
∵∠ABE=∠ABE，
∴△ABE∽△EBF；
（2）∵△ABE∽△EBF，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{EF}$，
∴BE²=AB•BF=2AB²，
∴$\frac{BE}{AB}=\sqrt{2}$，
∴EF：AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．