Question

15．如圖1，矩形OABC的邊OA、OC分別在坐標(biāo)軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)（1，$\sqrt{3}$），矩形O′A′B′C′是矩形OABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，O′點(diǎn)恰好在x軸的坐標(biāo)軸上，O′A′交BC于點(diǎn)D．

（1）直接填空：①O′的坐標(biāo)為（2，0）；②△O′DB的形狀是等腰三角形；
（2）如圖2，連接O′B將△O′BC′沿x軸負(fù)半軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左平移，得到△O′B′C′，當(dāng)C′運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)停止平移．設(shè)△O′B′C′與矩形OABC重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）如圖3，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM=1，在直線A′O′上是否存在點(diǎn)P，使得△POM是以線段OM為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一以及全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）分四種情形）①如圖2中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是△MNB′，②如圖3中，當(dāng)1＜t$≤\frac{3}{2}$時(shí)，重疊部分是五邊形MNHGO′，③如圖4中，當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形MNC′O′，④如圖5中，當(dāng)2＜t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，重疊部分是△MNC′，分別求解即可．
（3）分兩種情形討論即可如圖6中，①當(dāng)∠POM=90°時(shí)，②當(dāng)∠OMP′=90°時(shí)．

解答 解：（1）①連接OB、O′B，
則OB=O′B，
∵四邊形OABC矩形，
∴BC⊥OC，
∴CO=CO′，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)（1，$\sqrt{3}$），
∴OC=1，
∴O′C=1，
∴O′（2，0）；
②如圖1中，△O′DB是等腰三角形，

理由是：∵∠A′=∠BCO′=90°，∠A′DB=∠CDO′，A′B=O′C，
∴△BA′D≌△O′CD，
∴BD=DO′，
∴△O′DB是等腰三角形；
故答案為（2，0），等腰三角形．

（2）①如圖2中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是△MNB′，

S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t•t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²．
②如圖3中，當(dāng)1＜t$≤\frac{3}{2}$時(shí)，重疊部分是五邊形MNHGO′，

S=S_{△A′O′C′}-S_△A′GH-S_△MNC′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-1）²-$\frac{1}{2}$×[1-2（t-2）]×$\frac{\sqrt{3}}{3}$[1-2（t-2）]=-$\sqrt{3}$t²+4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$．
③如圖4中，當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形MNC′O′，

S=S_{△O′B′C′}-S_△MNB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-1）²=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
④如圖5中，當(dāng)2＜t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，重疊部分是△MNC′，

S=$\frac{1}{2}$×[1-2（t-2）]×$\frac{\sqrt{3}}{3}$[1-2（t-2）]=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$t+$\frac{25\sqrt{3}}{6}$．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}}&{（0＜t≤1）}\\{-\sqrt{3}{t}^{2}+4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}}&{（1＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}t+\frac{\sqrt{3}}{6}}&{（\frac{3}{2}＜t≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-\frac{1=\sqrt{3}}{3}t+\frac{25\sqrt{3}}{6}}&{（2＜t≤\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$．

（3）如圖6中，存在．

①當(dāng)∠POM=90°時(shí)，∵OC=CM=1，
∴∠COM=45°=∠POC，
∴直線OP解析式為y=x，
∵直線OA的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1）．
②當(dāng)∠OMP′=90°時(shí)，易知P′與O′重合，
此時(shí)點(diǎn)P′坐標(biāo)（2，0），
綜上所述點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0）或（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫(huà)好圖形，學(xué)會(huì)分類討論，注意自變量的取值范圍，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．