Question

4．如圖，拋物線L：y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）（常數(shù)t＞0）與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A，過(guò)線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于點(diǎn)P，且OA•MP=12，
（1）求k值；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，求AB的長(zhǎng)，并求直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離；
（3）把L在直線MP左側(cè)部分的圖象（含與直線MP的交點(diǎn)）記為G，用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）設(shè)L與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，且滿足4≤x₀≤6，通過(guò)L位置隨t變化的過(guò)程，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），只要求出xy即可解決問(wèn)題．
（2）先求出A、B坐標(biāo)，再求出對(duì)稱軸以及點(diǎn)M坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)對(duì)稱軸的位置即可判斷，當(dāng)對(duì)稱軸在直線MP左側(cè)，L的頂點(diǎn)就是最高點(diǎn)，當(dāng)對(duì)稱軸在MP右側(cè)，L于MP的交點(diǎn)就是最高點(diǎn)．
（4）畫出圖形求出C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則MP=y，由OA的中點(diǎn)為M可知OA=2x，代入OA•MP=12，
得到2x•y=12，即xy=6．
∴k=xy=6．
（2）當(dāng)t=1時(shí)，令y=0，0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3），
解得x=1或-3，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A左邊，
∴B（-3，0），A（1，0）．
∴AB=4，
∵L是對(duì)稱軸x=-1，且M為（$\frac{1}{2}$，0），
∴MP與L對(duì)稱軸的距離為$\frac{3}{2}$．
（3）∵A（t，0），B（t-4，0），
∴L的對(duì)稱軸為x=t-2，
又∵OM為x=$\frac{t}{2}$，
當(dāng)t-2≤$\frac{t}{2}$，即t≤4時(shí)，頂點(diǎn)（t-2，2）就是G的最高點(diǎn)．
當(dāng)t＞4時(shí)，L與MP的解得（$\frac{t}{2}$，-$\frac{1}{8}$t²+t）就是G的最高點(diǎn)．
（4）結(jié)論：5$≤t≤8-\sqrt{2}$或7$≤\\;t≤$t≤8+$\sqrt{2}$．
理由：對(duì)雙曲線，當(dāng)4≤x₀≤6時(shí)，1≤y₀≤$\frac{3}{2}$，即L與雙曲線在C（4，$\frac{3}{2}$），D（6，1）之間的一段有個(gè)交點(diǎn)．
①由$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（4-t）（4-t+4）解得t=5或7．
②由1=-$\frac{1}{2}$（6-t）（6-t+4）解得t=8+$\sqrt{2}$和8-$\sqrt{2}$．
隨t的逐漸增加，L的位置隨著A（t，0）向右平移，如圖所示，

當(dāng)t=5時(shí)，L右側(cè)過(guò)過(guò)點(diǎn)C．
當(dāng)t=8-$\sqrt{2}$＜7時(shí)，L右側(cè)過(guò)點(diǎn)D，即5≤t$≤8-\sqrt{2}$．
當(dāng)8-$\sqrt{2}$＜t＜7時(shí)，L右側(cè)離開(kāi)了點(diǎn)D，而左側(cè)未到達(dá)點(diǎn)C，即L與該段無(wú)交點(diǎn)，舍棄．
當(dāng)t=7時(shí)，L左側(cè)過(guò)點(diǎn)C．當(dāng)t=8+$\sqrt{2}$時(shí)，L左側(cè)過(guò)點(diǎn)D，即7≤t≤8+$\sqrt{2}$．
綜上所述，滿足條件的t的值，5≤t$≤8-\sqrt{2}$或7≤t≤8+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、平移等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖形信息解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，考慮問(wèn)題要全面，屬于中考�？碱}型．