Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點(diǎn)，DF⊥AC于F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）求證：CD²=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，于是可判斷OD∥AC，由于DF⊥AC，所以O(shè)D⊥DF，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，等量代換得到∠DEF=∠C，求得DE=DC，推出CF=EF，通過△CDF∽△CAD，得到$\frac{CD}{CF}=\frac{CA}{CD}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OD，AD，
∵AB=AC，AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于F，
∴OD⊥DF，
∴DF為⊙O的切線；

（2）連接DE，則∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEF=∠C，
∴DE=DC，
∴CF=EF，
在Rt△ADC中，DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{CA}{CD}$，
∴CD²=CF•CA
即CD²=AB•EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理．