Question

17．某工藝廠設(shè)計(jì)了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)x（元/件）	…	20	30	40	50	60	…
每天銷售量（y件）	…	500	400	300	200	100	…

（1）已知y是x的函數(shù)，請你分析它是我們學(xué)過的哪種函數(shù)，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）市物價(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過35元/件，那么銷售單價(jià)在什么范圍時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）猜想y是x的一次函數(shù)，設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），將點(diǎn)（20，500），（30，400）代入函數(shù)解析式得到關(guān)于k和b的二元一次方程組，解方程組得出函數(shù)解析式，代入其他點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)驗(yàn)證其他點(diǎn)也在該一次函數(shù)圖象上，從而得知結(jié)論正確；
（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，根據(jù)利潤=單個(gè)利潤×銷售數(shù)量，可得出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）猜想y是x的一次函數(shù)．
設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），
∵假設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（20，500），（30，400）這兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{500=20k+b}\\{400=30k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=700}\end{array}\right.$，
∴y=-10x+700．
經(jīng)驗(yàn)證，其他幾個(gè)點(diǎn)也在該函數(shù)圖象上，
故所求函數(shù)式是一次函數(shù)y=-10x+700．
（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得：
W=（x-10）（-10x+700）=-10x²+800x-7000=-10（x-40）²+9000，
∵-10＜0，
∴拋物線開口向下，當(dāng)x≤35時(shí)，W的值隨著x的增大而增大，
∴銷售單價(jià)定為35元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，
此時(shí)，W_最大=8750元．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．