Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，等腰△ABC，AB=AC，點B在x軸負半軸上，點C在x軸正半軸上，點A在y軸正半軸上，且BC=OA，△ABC的面積為32．點D為AO中點，過點D的直線l平行于x軸．動點P在x軸上從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q在y軸上從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向y軸負半軸運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒，當(dāng)點P停止運動時點Q同時停止運動．

（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點Q在線段AD上時，設(shè)△PQD的面積為S，請用含t的式子來表示S．
（3）點E為直線l上一點，是否存在t值使△PQE為等腰直角三角形？若存在求t值并直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形ABC的面積求出AB和OC的長，得出點C的坐標(biāo)；
（2）由同時開始，用時間t表示出DQ=4-2t，PO=4-t，求出s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）滿足△MNP為等腰直角三角形的情形有三種，利用點E既是PQ的垂直平分線上，也在直線l上，根據(jù)勾股定理和平面坐標(biāo)系中兩直線互相垂直，比例系數(shù)的積為-1，求出t和D點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AO=32，
∵BC=OA，
∴BC=8，OC=OB=$\frac{1}{2}$BC=4，
故點C的坐標(biāo)為（0，4）．
（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

∵BC=OA=8，
∴點P的坐標(biāo)為（t-4，0），點Q的坐標(biāo)（0，8-2t），點D的坐標(biāo)為（0，4），
∴DQ=4-2t，PO=4-t．
△PQD的面積S=$\frac{1}{2}$DQ•PO=$\frac{1}{2}$×（4-2t）×（4-t）=t²-6t+8．
∵點Q在線段AD上，
∴DQ=4-2t≥0，即t≤2．
故△PQD的面積S關(guān)于時間t的關(guān)系式為y=t²-6t+8（0≤t≤2）．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，4），
由（2）可知點P的坐標(biāo)為（t-4，0），點Q的坐標(biāo)（0，8-2t）．
結(jié)合兩點間的距離公式可得：PE=$\sqrt{（m-t+4）^{2}+{4}^{2}}$，EQ=$\sqrt{{m}^{2}+（4-8+2t）^{2}}$，PQ=$\sqrt{（t-4）^{2}+（-8+2t）^{2}}$．
△PQE為等腰直角三角形分三種情況：
①PE=EQ，且PE²+EQ²=PQ²，點E在線段PQ的垂直平分線上，
∴PQ的中點M（$\frac{t-4}{2}$，4-t），
∴直線EQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+8-2t，
∵點M在直線l上，
∴y=4，
即$\frac{1}{2}$m+8-2t=4，
∴m=-2-$\frac{3}{2}$t，
∵EQ²+PE²=PQ²，
∴2PE²=PQ²，
∴2[（t-4-m）²+16]=5（t-4）²，
∴t=-$\frac{4}{3}$（舍）或t=4（∵t=4時，點P，Q重合，∴舍去），
②當(dāng)PE=PQ時，且PE²+PQ²=EQ²，
∴直線PE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$（t-4），
∵點E在直線l上，
∴-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$（t-4），
∴m=t-4，
∴10（t-4）²=m²+（4-2t）²，
∴t=$\frac{16}{5}$，m=-$\frac{4}{5}$或t=8，m=0，
∴E（-$\frac{4}{5}$，4）或E（0，4），
③當(dāng)QE=PQ時，且QE²+PQ²=PE²，
∴直線QE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+8-2t，
∵點E在直線l上，
∴-$\frac{1}{2}$m+8-2t=4，
∴m=8-4t，
∵QE²+PQ²=PE²，
∴10（t-4）²=（t-4-m）²+16，
∴t=0，m=8或t=$\frac{8}{3}$，m=-$\frac{8}{3}$，
∴E（$\frac{8}{3}$，4）或E（-$\frac{8}{3}$，4），
即：t=$\frac{16}{5}$，E（-$\frac{4}{5}$，4）或t=8，E（0，4）或t=0，E（$\frac{8}{3}$，4）或t=$\frac{8}{3}$，E（-$\frac{8}{3}$，4）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，用運動時間表示出線段和點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵時分情況計算，本題的難點是以點E為等腰直角三角形的直角頂點時，用PQ的垂直平分線和直線l的交點就是E點．