Question

3．如圖，一次函數(shù)y=-x+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于A（1，m），B（3，n）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為雙曲線上A，B之間的一點(diǎn)，求當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式列出方程組即可解決．
（2）根據(jù)對(duì)稱性點(diǎn)P就是直線y=x與y=$\frac{3}{x}$的交點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{-1+b=m}\\{-3+b=n}\\{m=3n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A（1，3），k=3，
∴一次函數(shù)為y=-X+4，反比例函數(shù)為y=$\frac{3}{x}$．
（2）∵直線y=-x+4與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象都是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的，
∴當(dāng)點(diǎn)P是直線y=x與y=$\frac{3}{x}$的交點(diǎn)時(shí)，△PAB面積最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，根據(jù)對(duì)稱性，第二個(gè)問(wèn)題求點(diǎn)P坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求直線y=x與y=$\frac{3}{x}$的交點(diǎn)，屬于中考常考題型．