Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點M，點N為DE的中點．
（1）若AB=4，求△DNF的周長及sin∠DAF的值；
（2）求證：2AD•NF=DE•DM．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)線段中點定義求出EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出DE，然后三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出NF，再求出DN，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；
（2）利用“邊角邊”證明△ADF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF=EC=2NF，然后根據(jù)∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得證．

解答：（1）解：∵點E、F分別是BC、CD的中點，
∴EC=DF=

1

2

×4=2，
由勾股定理得，DE=

22+42

=2

5

，
∵點F是CD的中點，點N為DE的中點，
∴DN=

1

2

DE=

1

2

×2

5

=

5

，
NF=

1

2

EC=

1

2

×2=1，
∴△DNF的周長=1+

5

+2=3+

5

；
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=

AD2+DF2

=

42+22

=2

5

，
所以，sin∠DAF=

DF

AF

=

2

2 5

=

5

5

；

（2）證明：在△ADF和△DCE中，

AD=CD ∠ADC=∠C=90° EC=DF

，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴AF⊥DE，
∵點N、F分別是DE、CD的中點，
∴NF是△CDE的中位線，
∴DF=EC=2NF，
∵cos∠DAF=

AD

AF

=

AD

DE

，
cos∠CDE=

DM

DF

=

DM

2NF

，
∴

AD

DE

=

DM

2NF

，
∴2AD•NF=DE•DM．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，（2）求出三角形全等，再根據(jù)等角的余弦相等列出等式求解更簡便．