Question

在平面直角坐標(biāo)系中，B（

3

+1，0 ），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠AOB=60°，∠ABO=45°．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）動(dòng)點(diǎn)P從O 點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A止，是否存在t，使△POB的外心在x軸上？若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．通過(guò)解Rt△AOC和在Rt△ABC可以求得AC=BC=

3

x；然后利用OC+BC=OB列出關(guān)于x的方程x+

3

x=

3

+1，通過(guò)解方程可以求得x的值；
（2）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，所以設(shè)“兩點(diǎn)式”方程，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（3）存在t，使△POB的外心在x軸上，即△POB的外心在OB上．由圓周角定理推知∠OPB=90°，通過(guò)解Rt△OPB求得OP=

1

2

（

3

+1）=2t，由此求得t的值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，設(shè)OC=x．
∵在Rt△AOC中，∠AOC=60°，
∴AC=

3

x．
又∵在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴BC=

3

x．
∵OB=

3

+1，
∴OC+BC=OB，
∴x+

3

x=

3

+1，
∴x=1，AC=BC=

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，

3

）；

（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

）、O（0，0）、B（

3

+1，0）．
∴設(shè)y=a（x-0）（x-

3

-1）（a≠0）．
則

3

=a（-

3

），
解得 a=-1．
故該拋物線的解析式為：y=-x²+（

3

+1）x；

（3）存在t，使△POB的外心在x軸上，即△POB的外心在OB上．理由如下：
∵△POB的外心在OB上，
∴∠OPB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴OP=OB•cos60°=

1

2

（

3

+1），
∴OP=2t，
∴t=

3 +1

4

，即當(dāng)t=

3 +1

4

時(shí)，△POB的外心在x軸上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型．需要同學(xué)們掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解直角三角形以及圓周角定理．在設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-0）（x-

3

-1）時(shí)，一定要標(biāo)明a≠0．