Question

（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，

則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個(gè)等量關(guān)系；

（2）在△ABC中， AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)．

①如圖2，當(dāng)∠BAC=60°，∠DAE=30°時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________；

②如圖3，當(dāng)∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________．【參考：】

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①DE2=BD2+BD•EC+EC2；②.

【解析】

試題分析：（1）如圖1，把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM'，連接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出結(jié)論MN2=DN2+BM2.

（2）①如圖2，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G，由三角函數(shù)值就可以得出CG=CF，GF=CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結(jié)論.

②如圖3，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△ACF，連接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G，由三角函數(shù)值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結(jié)論.

試題解析：（1）如圖1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠ABM=∠ADN=45°．

把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM'．連結(jié)NM'．

∴△ABM≌△ADM′.∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．

∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，即∠NDM′=90°．

∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°.∴∠DAM′+∠DAF=45°，即∠M′AN=45°.∴∠M'AN=∠MAN．

在△AMN和△AM′N中，AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，AN＝AN，

∴△AMN≌△AM′N（SAS）.∴M'N=MN．

∵∠NDM′=90°，∴M'N2=DN2+DM'2，

∴MN2=DN2+BM2.

（2）①BD、DE、EC關(guān)系式為：DE2=BD2+BD•EC+EC2．理由如下：

如圖2，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF，作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G．

∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．

∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形.∴∠B=∠ACB=60°．∴∠ACF=60°.

∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，即∠ECF=120°.∴∠FCG=60°.∴∠CFG=30°.

∴CG=CF.

在Rt△CFG中，由勾股定理，得FG=CF．

∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°.∴∠CAF+∠EAC=30°，即∠EAF=30°．∴∠DAE=∠FAE．

在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，

∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．

在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF2=EG2+FG2，

∴.

②BD、DE、EC等量關(guān)系是：．理由如下：

把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△ACF，連接EF．作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G．

∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.

∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．

∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，∴∠BAC=∠FCG=α.

∴∠ACF=60°.

∴CG=cosα•CF，F(xiàn)G=sinα•CF．

∵∠DAE=α，∴∠BAD+∠CAE=α．

∴∠CAF+∠CAE=α，即∠EAF=α.

∴∠DAE=∠FAE．

在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，

∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．

在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF2=EG2+FG2，

∴

∵，

∴．

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；5.全等三角形的判定和性質(zhì)；6.勾股定理；7.三角函數(shù)值的運(yùn)用.