Question

6．如圖，P是反比例函數(shù)y=$\frac{9}{2x}$（k＞0）第一象限的圖象上的一點(diǎn)，則P到原點(diǎn)的最小距離為3．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則y=$\frac{9}{2x}$，利用勾股定理得到OP²=x²+y²=x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$，再根據(jù)不等式公式得x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{81}{4{x}^{2}}}$，所以O(shè)P²≥9，于是可判斷OP的最小值為3．

解答 解：設(shè)P（x，y），則y=$\frac{9}{2x}$，
所以O(shè)P²=x²+y²=x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$，
∵x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{81}{4{x}^{2}}}$，
∴OP²≥9，
∴OP≥3，
∴OP的最小值為3．
即P到原點(diǎn)的最小距離為3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．