Question

7．如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G，并與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求DE的長(zhǎng)．
（3）在（2）的條件下，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由DE為⊙O的切線，OC=OD，易得∠2+∠C=90°，又由OC⊥OB，可得∠C+∠OFC=90°，繼而證得∠1=∠2；
（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，可求得OF=1，然后由勾股定理得方程：3²+x²=（x+1）²，繼而求得答案；
（3）易證得Rt△EOD∽R(shí)t△EGA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠2+∠C=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠C+∠OFC=90°，
∴∠2=∠OFC，
∵∠1=∠OFC，
∴∠1=∠2；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，
∴OF=1，
∵∠1=∠2，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
∴DE=4；

（3）解：∵AG為⊙O的切線，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∴∠GAE=∠ODE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽R(shí)t△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$，
∵OE=4+1=5，
即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意掌握方程思想的應(yīng)用．