Question

9．在四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中點分別為P，Q，M，N．
（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論．
（2）若在AB邊上存在一點E，連接DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（圖2）；
①判斷此時四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論；
②當AE=5，BE=4時，求此時四邊形PQMN的周長（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD．利用三角形中位線定理判定四邊形PQMN的對邊平行且相等，易證該四邊形是平行四邊形；
（2）先判斷出△AEC≌△DEB，得出AC=BD，進而利用中位線得出MN=PN即可得出結(jié)論；
（3）先求出DF，BF，進而利用勾股定理求出BD即可得出PN即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連結(jié)AC、BD．
∵AB，BC的中點分別為P，Q，
∴PQ為△ABC的中位線，
∴PQ∥AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，
同理MN∥AC．MN=$\frac{1}{2}$AC．
∴MN=PQ，MN∥PQ，
∴四邊形PQMN為平行四邊形，

（2）①四邊形PQMN是菱形；
如圖2，

連接AC，BD，
∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，
∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=BD，
∵點M，N是AD，CD的中點，
∴MN是△ADC的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
同理：PN=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=PN，
由（1）知，四邊形MNPQ是平行四邊形，
∴平行四邊形MNPQ是菱形；

②如圖3，

連接BD，過點D作DF⊥AB于F，
∵△ADE是等邊三角形，且AE=5，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$，
∵DF=$\sqrt{3}$EF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵BE=4，
∴BF=EF+BE=$\frac{13}{2}$
在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得，BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{2}$，
由①知，PN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{7\sqrt{5}}{4}$，
由①知，四邊形PQMN是菱形，
∴四邊形PQMN的周長=4PN=7$\sqrt{5}$．

點評 此題是四邊形的綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關鍵是判斷出PQ∥AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，解（2）的關鍵是判斷出△AEC≌△DEB，以及構造直角三角形，是一道中等難度的中考�？碱}．