Question

17．我們知道：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半．
（1）請你分”圓周角的一邊過圓心“、”圓心在圓周角的內(nèi)部“、”圓心在圓周角的外部“3種情況，分別結(jié)合圖①、②、③證明上述結(jié)論；

（2）證明上述結(jié)論，運用的數(shù)學(xué)思想方法有：分類討論．
（3）我們把“頂點在圓外的角”稱之為“圓外角”，把“頂點在圓內(nèi)的角”稱之為“圓內(nèi)角”，“圓外角”或“圓內(nèi)角”是否依然等于“它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”？請你分別結(jié)合圖④、⑤對你的結(jié)論加以說明．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的兩底角相等以及三角形的外角的性質(zhì)即可證得；
（2）分成三種不同情況，則利用了分類討論思想；
（3）作出∠AOC對應(yīng)的圓周角，利用（1）的結(jié)論好三角形的外角的性質(zhì)即可解答．

解答 解：（1）在圖①中，∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
又∵∠AOC=∠A+∠B，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC；
在圖②中，作直徑BD，同①可得∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD，
則∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC；
在圖③中，作直徑BD．
同理∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠ABC=∠CBD-∠ABD=$\frac{1}{2}$∠COD-$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$（∠COD-∠AOD）=$\frac{1}{2}$∠AOC；
（2）運用了分類討論思想．
故答案是：分類討論；
（3）圓外角”或“圓內(nèi)角”不等于“它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”．
如圖④．
連接CD．
根據(jù)（1）可得∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∵∠ADC＞∠B，
∴∠B＜$\frac{1}{2}$∠AOC；
在圖⑤中，延長AB交圓于點D，連接CD．
∵∠D=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∵∠D＜∠ABC，
∴∠ABC＞$\frac{1}{2}$∠AOC．

點評 本題考查了圓周角定理的證明，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確進行分類討論是關(guān)鍵．