Question

2．如圖，四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點(diǎn)，AD分別與EF，GF交于I，H兩點(diǎn)．
（1）求證：AE∥FD；
（2）試判斷AF與AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí)，
①求證：AE=IE；
②若AC=4，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE∥DF，只要證明∠BEA=∠BDF=90°即可．
（2）結(jié)論：AF=AB，只要證明四邊形AFDC是平行四邊形，推出AF=CD，由CD=AB，解決問(wèn)題．
（3）①如圖2中，連接GE．欲證明EI=EA，只要證明∠EIA=∠EAI即可．
②在Rt△DEC中，由DG=GC，推出GE=DG=GC，設(shè)GE=a，則DC=2a，首先求出EF，△FEG∽△DCE，得$\frac{EG}{CE}$=$\frac{EF}{CD}$，列出方程求出a²，再根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF是直徑，
∴∠EDF=90°，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴AE∥DF．

（2）結(jié)論：AF=AB．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DF∥AC，
∴四邊形AFDC是平行四邊形，
∴AF=CD，
∴AF=AB．

（3）①如圖2中，連接GE．

∵EF是直徑，
∴∠EGF=90°，
∵DG=GC，EC=AE，
∴GE∥AD，
∴∠EIA=∠FEG，
∵∠ADE+∠DAE=90°，∠GFE+∠FEG=90°，
∵∠CDB=∠BDA=∠EFG，
∴∠DAE=∠FEG，
∴∠DAE=∠EIA，
∴EI=EA．
②在Rt△DEC中，∵DG=GC，
∴GE=DG=GC，設(shè)GE=a，則DC=2a，
∵AC=4，AE=EC，
∴EI=EA=2，
∵DF∥AE，
∴∠FDI=∠EAI=∠EIA=∠DIF，
∴DF=IF，由（2）可知DF=AC=4，
∴EF=FI+EI=6，
∵∠EFG=∠CDE，∠FGE=∠DEC=90°，
∴△FEG∽△DCE，
∴$\frac{EG}{CE}$=$\frac{EF}{CD}$，
∴$\frac{a}{2}$=$\frac{6}{2a}$，
∴a²=6，
在Rt△EFG中，F(xiàn)G=$\sqrt{E{F}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-6}$=$\sqrt{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．