Question

5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，對(duì)邊BC，AD交于點(diǎn)F，AB、DC交于點(diǎn)E，△ECF的外接圓與⊙O的另一交點(diǎn)為H，AH與EF交于點(diǎn)M，MC與⊙O交于點(diǎn)C．證明：
（1）M為EF的中點(diǎn)；
（2）A、G、E、F四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△HMF∽△FMA即可得出MF²=MH×MA，同理：ME²=MH×MA即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出四邊形CENF是平行四邊形，進(jìn)而判斷出A、E、N、F四點(diǎn)共圓．，A、G、E、N四點(diǎn)共圓，即可得出A、G、E、N、F五點(diǎn)共圓．得證．

解答 證明：（1）如圖，
連結(jié)EH、CH、FH．
∴∠FAM=∠DAH=∠DCH，
∵E、C、H、F四點(diǎn)共圓，
∴∠HFM=∠DCH
∴∠HFM=∠FAM，
∴△HMF∽△FMA，
∴$\frac{MF}{MA}=\frac{MH}{MF}$，
∴MF²=MH×MA，
同理：ME²=MH×MA，
∴ME=MF．
∴M為EF的中點(diǎn)；
（2）延長(zhǎng)CM到N，使MN=MC，連接EN，F(xiàn)N，AG，EG，
由（1）知，ME=MF，
∴四邊形CENF是平行四邊形，
∴∠ENF=∠ECF=∠BCD=180°-∠EAF，
∴A、E、N、F四點(diǎn)共圓．，
∵∠GAE=∠GAB=∠GCB=∠FCN=∠ENC=∠ENG，
∴A、G、E、N四點(diǎn)共圓，
∴A、G、E、N、F五點(diǎn)共圓．
∴A、G、E、F四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 此題是四點(diǎn)共圓，主要考查的四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是四邊形CENF是平行四邊形，難點(diǎn)是作出輔助線．是一道難度不大的競(jìng)賽�？碱}．