Question

在平面直角坐標系xOy中，已知A（-2，0），B（2，0），AC⊥AB于點A，AC=2，BD⊥AB于點B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動點P（不與A、B兩點重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點P的關聯(lián)圖形，如圖1所示．
（1）如圖2，當P運動到半圓O與y軸的交點位置時，求點P的關聯(lián)圖形的面積．
（2）如圖3，連接CD、OC、OD，判斷△OCD的形狀，并加以證明．
（3）當點P運動到什么位置時，點P的關聯(lián)圖形的面積最大，簡要說明理由，并求面積的最大值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）判斷出四邊形AOPC是正方形，得到正方形的面積是4，根據(jù)BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面積=

(OP+DB)×OB

2

=

(2+6)×2

2

=8，二者相加即為點P的關聯(lián)圖形的面積是12．
（2）根據(jù)CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判斷出△OCD是直角三角形．
（3）要使點P的關聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，確定關聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積，根據(jù)此思路，進行解答．

解答：解：（1）∵A（-2，0），
∴OA=2，
∵P是半圓O上的點，P在y軸上，
∴OP=2，∠AOP=90°，
∴AC=2，
∴四邊形AOPC是正方形，
∴正方形的面積是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，
∴梯形OPDB的面積=

(OP+DB)×OB

2

=

(2+6)×2

2

=8，
∴點P的關聯(lián)圖形的面積是12．
（2）判斷△OCD是直角三角形．
證明：延長CP交BD于點F，則四邊形ACFB為矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴△OCD是直角三角形．
（3）連接OC交半圓O于點P，則點P即為所確定的點的位置．
理由如下：連接CD，梯形ACDB的面積=

(AC+DB)×AB

2

=

(2+6)×4

2

=16為定值，
要使點P的關聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，
∵CD為定長，
∴P到CD的距離就要最小，
連接OC，設交半圓O于點P，
∵AC⊥OA，AC=OA，
∴∠AOC=45°，過C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴OC⊥CD，OC=2

2

，
∴PC在半圓外，設在半圓O上的任意一點P′到CD的距離為P′H，則P′H+P′O＞OH＞OC，
∵OC=PC+OP，
∴P′H＞PC，
∴當點P運動到半圓O與OC的交點位置時，點P的關聯(lián)圖形的面積最大．
∵CD=4

2

，CP=2

2

-2，
∴△PCD的面積=

(AC+DB)×AB

2

=

(2+6)×4

2

=16，
∴點P的關聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積=16-（8-4

2

）=8+4

2

．

點評：本題考查了圓的相關知識，涉及新定義“關聯(lián)圖形”，同時要注意直角三角形的判定，梯形的面積的運算，強調(diào)邏輯推理，注重數(shù)形結合．