Question

9．定義一種變換：平移拋物線F₁得到拋物線F₂，使F₂經(jīng)過F₁的頂點(diǎn)A．設(shè)F₂的對稱軸分別交F₁、F₂于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)．

（1）如圖①，若F₁：y=x²經(jīng)過變換得到F₂：y=x²+bx，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），求拋物線F₂的解析式；
（2）如圖②，若F₁：y=ax²+c經(jīng)過變換后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，c-1），求△ABD的面積；
（3）如圖③，若F₁：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$經(jīng)過變換后滿足AC=2$\sqrt{3}$．
①請說明四邊形ABCD是菱形；
②若點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離與到直線AD的距離之和的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知F₂的解析式，把已知坐標(biāo)代入即可得出b的值，即可解答；
（2）由y=ax²+c經(jīng)過變換后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，c-1），根據(jù)A（0，c）在F₂上，可得a=$\frac{1}{4}$，即可表示出△ABD的面積；
（3）①求出y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸，從而表示出F2的解析式，判斷出四邊形ABCD是菱形，
②要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，進(jìn)而求出．

解答 解：（1）將點(diǎn)C（2，0）的坐標(biāo)代入拋物線F₂的解析式，
得b=-2，
∴F₂的解析式為y=x²-2x．
（2）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=$\frac{1}{4}$，
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2．
（3）①拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，配方得y=$\frac{1}{3}（x-1）^{2}$+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，2），
∵AC=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{3}$，2）．
∵F₂過點(diǎn)A，
∴F₂的解析式為y=$\frac{1}{3}（x-1-\sqrt{3}）^{2}$+1，
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，
∴B（1+$\sqrt{3}$，1），
∴D（1+$\sqrt{3}$，3），
∴NB=ND=1，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC，
∴四邊形ABCD是菱形．
②∵四邊形ABCD是菱形．
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∵點(diǎn)P在直線AC上，
∴PD=PB．
如圖③，作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則PD+PH=PB+PH．

要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點(diǎn)B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h(yuǎn)．
∵DN=1，AN=$\sqrt{3}$，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，故△ABD是等邊三角形．
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離與到直線AD的距離之和的最小值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)的圖形變換與頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，此題是近幾年中考中新題型，也是數(shù)形結(jié)合的典型代表題目．