Question

14．如圖，直角三角形紙板ABP的直角頂點(diǎn)P在直線l上，AP=3，BP=4，分別作AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，若將三角形紙板在平面內(nèi)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)C、D、P互不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段CD、AC、BD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 先根據(jù)∠ACP=∠PDB=90°，∠CAP=∠DPB，判定△ACP∽△PDB，進(jìn)而得出$\frac{AC}{PD}$=$\frac{CP}{DB}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{3}{4}$，即可得到CP=$\frac{3}{4}$BD，DP=$\frac{4}{3}$AC，再根據(jù)CD=CP+PD，即可得出CD=$\frac{3}{4}$BD+$\frac{4}{3}$AC；若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l異側(cè)，運(yùn)用同樣的方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，∵AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，
∴∠ACP=∠PDB=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠CAP=∠DPB，
∴△ACP∽△PDB，
∴$\frac{AC}{PD}$=$\frac{CP}{DB}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{3}{4}$，
∴CP=$\frac{3}{4}$BD，DP=$\frac{4}{3}$AC，
∵CD=CP+PD，
∴CD=$\frac{3}{4}$BD+$\frac{4}{3}$AC；
當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l異側(cè)時(shí)，
同理可得，CP=$\frac{3}{4}$BD，DP=$\frac{4}{3}$AC，
若CP＜DP，則CD=PD-CP，
∴CD=$\frac{4}{3}$AC-$\frac{3}{4}$BD；
若DP＜CP，則CD=CP-PD，
∴CD=$\frac{3}{4}$BD-$\frac{4}{3}$AC．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l同側(cè)時(shí)，CD=$\frac{3}{4}$BD+$\frac{4}{3}$AC；當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l異側(cè)時(shí)，CD=|$\frac{3}{4}$BD-$\frac{4}{3}$AC|．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得線段之間的數(shù)量關(guān)系．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．