Question

7．已知D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD．求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CD到F、使CD=DF知DE∥AF、DE=$\frac{1}{2}$AF，通過(guò)∠ABD=∠DFA=∠EDC知點(diǎn)A、F、B、D四點(diǎn)共圓，從而得到∠BFD=∠BCD=∠BAD，證△BFD≌△BCD知∠BAF=∠BDF=90°，在RT△BAF中根據(jù)勾股定理可得AF的長(zhǎng)即可．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)CD到F，使CD=DF，連接AF、BF，

∵E是AC中點(diǎn)，CD=DF，
∴DE∥AF，且DE=$\frac{1}{2}$AF，
∴∠CDE=∠DFA，
∵∠EDC=∠ABD，
∴∠ABD=∠DFA=∠EDC，
∴點(diǎn)A、F、B、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BAD=∠BFD，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BFD=∠BCD，
∴BF=BC，
在△BFD和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}\\{BD=BD}\\{DC=DF}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△BCD（SSS），
∴∠BDF=∠BDC=$\frac{1}{2}$∠CDF=90°，
∵點(diǎn)A、F、B、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BAF=∠BDF=90°，
在RT△BAF中，∵BF=BC=10，AB=6，
∴AF=8，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造△BFD≌△BCD是解題的關(guān)鍵．