Question

2．在△ABC中 AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作∠MCB=∠BAC，MC所在直線交AB所在直線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）如圖①，求證：AD-AB=2CE；
（2）如圖②，圖③，線段AD，AB，CE又有怎樣數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明；
（3）填空：若AC=3，CE=2，則AD=7或1．

Answer 1

分析 （1）作DH∥BC交AE的延長(zhǎng)線于H，先證明BD=HC，再證明HC=2CE即可解決．
（2）①結(jié)論AD+AB=2EC，作DH∥BC交CA的延長(zhǎng)線于H，先證明BD=HC，再證明HC=2CE即可解決．
②結(jié)論AD+AB=2EC，作DH∥BC交CA的延長(zhǎng)線于H，先證明BD=HC，再證明HC=2CE即可解決．
（3）利用圖1、圖2的結(jié)論計(jì)算即可，圖3不合題意．

解答 （1）證明：如圖1中，作DH∥BC交AE的延長(zhǎng)線于H．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BC∥DH，
∴∠ACB=∠H，∠ABC=∠ADN，
∴∠H=∠ADH，
∴AD=AH，
∴BD=CH，
∵∠BCD=∠A，∠HCB=∠A+∠ABC，
∴∠HCB=∠ABC=∠H，
∴DC=DH，
∵DE⊥CH，
∴CE=EH，
∴HC=2EC，
∴AD-AB=BD=CH=2EC．
（2）①如圖2中結(jié)論：AB+AD=2EC，理由如下：
證明：作DH∥BC交CA的延長(zhǎng)線于H．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BC∥DH，
∴∠ACB=∠H，∠ABC=∠ADN，
∴∠H=∠ADH，
∴AD=AH，
∴BD=CH，
∵∠BCM+∠BCA+∠HCD=180°，∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
∵∠BCM=∠BAC，
∴∠HCD=∠B=∠H，
∴DC=DH，
∵DE⊥CH，
∴CE=EH，
∴HC=2EC，
∴AD-AB=BD=CH=2EC．
②如圖3中，結(jié)論：AB+AD=2FC，理由如下：
作DH∥BC交CA的延長(zhǎng)線于H．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BC∥DH，
∴∠ACB=∠H，∠ABC=∠ADN，
∴∠H=∠ADH，
∴AD=AH，
∴BD=CH，
∵∠BCM+∠BCA+∠HCD=180°，∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
∵∠BCM=∠BAC，
∴∠HCD=∠B=∠H
∴DC=DH，
∵DE⊥CH，
∴CE=EH，
∴HC=2EC，
∴AD-AB=BD=CH=2EC．
（3）解：在圖1中，∵AD-AB=2EC，AB=AC=3，EC=2，
∴AD-3=4
∴AD=7，
在圖2中，∵AD+AB=2EC，AB=AC=3，CE=2，
∴AD+3=4，
∴AD=1，
在圖3中，∵AC＜CE不合題意．
故答案為7或1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，通過(guò)作平行線構(gòu)造等腰三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．