Question

16．解關于x，y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=a}\\{xy=0}\end{array}\right.$，其中a為實數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)解無理方程的方法，分不同的情況進行討論，可以解答此方程．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=a}&{①}\\{xy=0}&{②}\end{array}\right.$
由②，得x=0，y≠0，或x≠0，y=0或x=0，y=0，
當x=0，y≠0時，則①可變形為y²-|y|+a=0，
△=（-1）²-4×1×a=1-4a，
當a＞$\frac{1}{4}$時，此方程無實數(shù)根，
當a=$\frac{1}{4}$時，y=$\frac{1}{2}$，
當a＜$\frac{1}{4}$時，y=$\frac{1±\sqrt{1-4a}}{2}$（a≠0）；
當x≠0，y=0時，則①可變形為x²+|x|-a=0，
△=1²-4×1×（-a）=1+4a，
當a$＜-\frac{1}{4}$時，此方程無實數(shù)根，
當a=$-\frac{1}{4}$時，x=-$\frac{1}{2}$，
當a$＞-\frac{1}{4}$時，x=$\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{2}$（a≠0）；
當x=0，y=0時，則①可變形為0=a，
故當a=0時，x=0，y=0，
當a≠0時，方程無實數(shù)根；
綜上所述，當a=0時，原方程組的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$；
當a≠0，a=$\frac{1}{4}$時，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當a≠0，a＜$\frac{1}{4}$時，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{2}}\end{array}\right.$；
當a≠0，a=-$\frac{1}{4}$時，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
當a≠0，a$＞-\frac{1}{4}$時，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查無理方程，解題的關鍵是明確解無理方程的方法．