Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），P是直線BC下方拋物線上的一個動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）有點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得出直線BC的表達(dá)式，過P作PD∥y軸，交BC于D，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積以及三角形的面積公式即可得出S_{四邊形ABPC}關(guān)于a的二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題和點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c中，
得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=9+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3．
（2）∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，-3），
∴直線BC：y=x-3．
過P作PD∥y軸，交BC于D，如圖1所示．
設(shè)P（a，a²-2a-3），則點(diǎn)D（a，a-3），
當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（-1，0）．
則S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC，
=$\frac{1}{2}$•AB•|y_C|+$\frac{1}{2}$•OB•DP，
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$3×[a-3-（a²-2a-3）]，
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，0＜a＜3，
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時，四邊形ABPC的面積取最大值，最大值為$\frac{75}{8}$，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．