Question

2．如圖1，動直線l：y=kx+2交拋物線y=$\frac{1}{4}$x²于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸于M點(diǎn)，N為x軸正半軸上一點(diǎn)，且ON=OM+1
（1）直接寫出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）如圖1，連AN、BN，當(dāng)∠ANB=90°時(shí)，求k的值；如圖2，過B作y軸的平行線交直線OA于C，試探求△MNC的周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先求得直線與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)ON=OM+1求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）設(shè)A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，利用△ADN∽△NEB列出比例式求得有關(guān)兩點(diǎn)坐標(biāo)的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式求解即可；求得直線AO的解析式，然后確定點(diǎn)C的位置，然后利用軸對稱的性質(zhì)確定三角形的面積的最小值即可．

解答 解：（1）M（0，2），N（3，0）；
（2）設(shè)A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），
過A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，
則△ADN∽△NEB，
∴$\frac{AD}{NE}=\frac{DN}{EB}$，
∴$\frac{{\frac{1}{4}x}_{1}^{2}}{{x}_{2}-3}$=$\frac{3-{x}_{1}}{\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}}$，
∴$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=-（3-x₁）（3-x₂），$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=-[9-3（x₁+x₂）+x₁x₂]，
又∵由l：y=kx+2，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²，得：$\frac{1}{4}$x²-kx-2=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∴$\frac{1}{16}$（-8）²=-[9-3×4k-8]，
∴k=$\frac{5}{12}$；
設(shè)直線AO的解析式為y=mx，
∵過A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），
∴$\frac{1}{4}$x₁²=mx₁，
∴m=$\frac{1}{4}$x₁，
∴直線AO的解析式為y=$\frac{1}{4}$x₁x，
∵BC∥y軸，直線BC的解析式為x=x₂，
∴C（x₂，$\frac{1}{4}$x₁x₂），
又∵由（1）知x₁x₂=-8，
∴C（x₂，-2），
又∵x₂＞0，
∴C點(diǎn)一定在沒有端點(diǎn)的射線y=-2（x＞0）上運(yùn)動，
∴由軸對稱可知：△MNC的周長的最小值為3$\sqrt{5}$+$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中往往設(shè)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得到方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)的方法在解決此類題目中應(yīng)用十分的廣泛，在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．