Question

7．已知sinα=sin30°+sin15°，小明馬上給出了他的答案“∠α=45°”．小明的答案正確嗎？說說你的理由．

Answer 1

分析 15°角可以看做是60°角與45°角的差．借助有一個(gè)內(nèi)角是60°的直角三角形和等腰直角三角形構(gòu)造出一個(gè)圖形并借助它求出sin15°的值；作DE⊥AB，垂足為E．設(shè)DC=1，則AC=1，由勾股定理AD=$\sqrt{2}$，根據(jù)三角函數(shù)可得DE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，再根據(jù)正弦的定義即可求出sin15°的值，然后加上sin30°看看等不等于sin45°．

解答 解：如圖，△ABC為有一個(gè)內(nèi)角為60°的直角三角形，△ADC為等腰直角三角形，所以∠DAB=15°．
作DE⊥AB，垂足為E．
設(shè)DC=1，則AC=1，由勾股定理AD=$\sqrt{2}$，
由∠BAC=60°可得AB=2，BC=$\sqrt{3}$，
則BD=$\sqrt{3}$-1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
 則DE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
在Rt△DEA中，sin∠DAE=$\frac{ED}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
即sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴sinα=sin30°+sin15°=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠α≠45°，
故小明的答案錯(cuò)誤．

點(diǎn)評 本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．