Question

10．對于一個圓和一個正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱這個圓是正方形的“等距圓”
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側(cè)．
（1）當(dāng)r=2$\sqrt{2}$時，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P₂，P₄；
（2）當(dāng)P點坐標(biāo)為（-3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r=5時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”．試判斷此時⊙P與直線AC的位置關(guān)系？并說明理由．
（3）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點F的坐標(biāo)為（6，2），頂點E、H在y軸上且點H在點E的上方．
①將正方形ABCD繞著點O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段GF上沒有一個點能稱為它的“等距圓”的圓心，則r的取值范圍是0＜r＜2$\sqrt{10}$-2或r＞12；
②若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接AC和BD，交于點M，設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），列出圓心到M的關(guān)系式，把P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）代入，看是否成立來判定；
（2）把點P的坐標(biāo)代入（1）中圓的方程可以求得其半徑；如答圖2，找到正方形ABCD的中心E，根據(jù)點P、B、E的坐標(biāo)推知這三點不共線，由直線與圓的位置關(guān)系進行解答；
（3）①連接DH，作DT⊥HF，以D為圓心，DE為半徑作圓，交DT于點E₁，交HD于E₂，當(dāng)0＜r＜DT-DE₁時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．當(dāng)r＞HE₂時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．據(jù)此求解．
②先求出△LIE為等腰直角三角形，得到L（0，5），進而得出△LOM為等腰直角三角形，設(shè)P（p，-p+5）據(jù)關(guān)系列出方程求了圓心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如答圖1，連接AC和BD，交于點M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四條邊距離都相等，
∴⊙P一定通過點M，
∵A（2，4）
∴M（0，2）
設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），
∴r=2$\sqrt{2}$時，
∴x²+（y-2）²=（2$\sqrt{2}$）²，
即，x²+（y-2）²=8，
把P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）代入，只有P₂，P₄成立，
∴可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P₂，P₄．
故答案是：P₂，P₄．

（2）5，且⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交．理由如下：
把P點坐標(biāo)（-3，6）代入x²+（y-2）²=（-3）²+（6-2）²=5²，則該圓的半徑為5．
如答圖2，設(shè)正方形ABCD的中心為E，則E（0，2）．
∵P點坐標(biāo)為（-3，6），點B的坐標(biāo)為（-2，4），
∴點P、B、E不在同一條直線上．
∵∠CEB=90°，
∴∠CEP≠90°，
∴點P到AC的距離必小于5，
∴⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交．

（3）①如答圖3，連接DH，作DT⊥HF，以D為圓心，DE為半徑作圓，交DT于點E₁，交HD于E₂，
當(dāng)0＜r＜DT-DE₁時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
∵HF所在的直線為：y=-x+8，
DT所在的直線為：y=x-2，
∴T（5，3），
∵D（2，0），
∴DT=$\sqrt{{3}^{2}+（5-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵DE=DE₁
∴DT-DE₁=DT-DE=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)0＜r＜$\sqrt{2}$時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
當(dāng)r＞HE₂時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
∵HE₂=HD+DE₂，DE₂=DE，
∴HE₂=HD+DE=$\sqrt{H{O}^{2}+O{D}^{2}}$+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
②∵⊙P同時為正方形ABCD與正方形EFGH的“等距圓”，
∴⊙P同時過正方形ABCD的對稱中心E和正方形EFGH的對稱中心I．
∴點P在線段EI的中垂線上．
∵A（2，4），正方形ABCD的邊CD在x軸上；F（6，2），正方形EFGH的邊HE在y軸上，
∴E（0，2），I（3，5）
∴∠IEH=45°，
設(shè)線段EI的中垂線與y軸交于點L，與x軸交于點M，
∴△LIE為等腰直角三角形，LI⊥y軸，
∴L（0，5），
∴△LOM為等腰直角三角形，LO=OM
∴M（5，0），
∴P在直線y=-x+5上，
∴設(shè)P（p，-p+5）
過P作PQ⊥直線BC于Q，連結(jié)PE，
∵⊙P與BC所在直線相切，
∴PE=PQ，
∴p²+（-p+5-2）²=（p+2）²，
解得：p₁=5+2$\sqrt{5}$，p₂=5-2$\sqrt{5}$，
∴P₁（5+2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），P₂（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了圓綜合題．一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“等距圓”的定義是正確解題的關(guān)鍵．