Question

1．如圖，點A是反比例函數(shù)y=$\frac{5\sqrt{3}}{x}$（x＞0）圖象上一點，點B是x軸正半軸上一點，點C的坐標(biāo)為（0，2），當(dāng)△ABC是等邊三角形時，點A的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，$\frac{25}{3}$）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)點A是反比例函數(shù)y=$\frac{5\sqrt{3}}{x}$（x＞0）圖象上一點，設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，$\frac{5\sqrt{3}}{x}$），點B的坐標(biāo)為（a，0），則BC的中點D的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}，1$）；然后判斷出AD⊥BC，以及∠ABC=60°，判斷出a、x的關(guān)系，求出當(dāng)△ABC是等邊三角形時，點A的坐標(biāo)為多少即可．

解答 解：如圖，，
設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，$\frac{5\sqrt{3}}{x}$），點B的坐標(biāo)為（a，0），
則BC的中點D的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}，1$）；
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD⊥BC，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{x}-1}{x-\frac{a}{2}}$$•\frac{-2}{a}=-1$，
整理，可得
2ax²+（4-a²）x$-20\sqrt{3}$=0…（1）；
k_AB=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{x}}{x-a}=\frac{5\sqrt{3}}{x（x-a）}$，${k}_{BC}=\frac{-2}{a}$，
∵∠ABC=60°，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{x（x-a）}-（\frac{-2}{a}）}{1-\frac{5\sqrt{3}}{x（x-a）}•\frac{2}{a}}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
整理，可得
（2-$\sqrt{3}a$）x²$+（{\sqrt{3}a}^{2}-2a）$x$+5\sqrt{3}a+30=0$…（2）；
由（1）（2），解得
x=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，y=$\frac{5\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{5}}=\frac{25}{3}$，
所以當(dāng)△ABC是等邊三角形時，點A的坐標(biāo)為：（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，$\frac{25}{3}$）．
故答案為：（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，$\frac{25}{3}$）．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，以及等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°；等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．