Question

3．關(guān)于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為負(fù)整數(shù)時(shí)，求出函數(shù)的最大（或最小）值，并畫出函數(shù)圖象；
（3）若P（a，y₁），Q（2，y₂）是（2）中拋物線上的兩點(diǎn)，且y₁＞y₂，請你結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，方程變形為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)k≠0時(shí)，計(jì)算判別式得到△=（3k-1）²，由此得到△≥0，由此判斷當(dāng)k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）先由因式分解得到kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解為x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，則二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-$\frac{1}{k}$和-3，然后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)k的值；
（3）代入點(diǎn)Q（2，y₂）得出y₂，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q的對稱性得出對稱點(diǎn)，結(jié)合（2）中的圖象得出答案即可．

解答 （1）證明：當(dāng)k=0時(shí)，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴當(dāng)k≠0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）
（kx+1）（x+3）=0，
解得：x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，
所以二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-$\frac{1}{k}$和-3，
根據(jù)題意得-$\frac{1}{k}$為整數(shù)，且k為負(fù)整數(shù)
所以整數(shù)k=-1；
二次函數(shù)為y=-x²-2x+3；
函數(shù)圖象如下：

（3）解：把點(diǎn)Q（2，y₂）代入y=-x²-2x+3得y₂=-5，
則點(diǎn)Q的對稱點(diǎn)為（-4，-5），
由圖象可知：當(dāng)-4＜a＜2時(shí)，y₁＞y₂．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac，二次函數(shù)的對稱性，以及利用二次函數(shù)圖象解決二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．