Question

17．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為D，并在拋物線的對稱軸上找一點P，使三角形PBD的周長最小，求出點D和點P的坐標；
（3）在直線CD下方的拋物線上是否存在一點E，使得△DCE的面積最大，若有求出點E的坐標及面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）將y=0代入二次函數(shù)解析式，解關(guān)于x的方程，求出點D的坐標．連接AB與拋物線的對稱軸交于點P，點P即為所求，根據(jù)點A、B點的坐標可求出直線AB的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式可找出對稱軸的解析式，將其代入直線AB的解析式中即可求出點P的坐標；
（3）假設存在，過點E作EF∥y軸，交直線CD于點F．由點C、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式，設出點E的坐標，由此即可得出點F的坐標，利用分割圖形求面積法找出S_△DCE關(guān)于x的二次解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+2b+c}\\{-1=c}\\{5=16a+4b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1．
（2）當y=0時，得$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=2，
∴點D的坐標為（-1，0）．
D點和A點關(guān)于對稱軸對稱，連接AB與對稱軸交于點P，P點即是所要找的點，如圖1所示．

設直線AB的解析式為y=kx-1，
∵點A的坐標為（2，0），
∴0=2k-1，解得：k=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1．
∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1，
∴拋物線解析式為x=-$\frac{-\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
令y=$\frac{1}{2}$x-1中x=$\frac{1}{2}$，則y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{4}$，
∴點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
（3）假設存在，過點E作EF∥y軸，交直線CD于點F，如圖2所示．

∵點E是直線CD下方拋物線上的一動點，
∴設點E的坐標是（x，$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1）（-1＜x＜4）．
設直線CD的解析式為y=mx+n，
∵點C（4，5）、點D（-1，0）在直線CD上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=4m+n}\\{0=-m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=x+1，
∴點F的坐標為（x，x+1），
∴EF=x+1-（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2．
S_△DCE=$\frac{1}{2}$EF•（x_C-x_D）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2）×[4-（-1）]=-$\frac{5}{4}（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{125}{16}$．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，即點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）時，△DCE的面積最大，最大值為$\frac{125}{16}$．
故在直線CD下方的拋物線上存在一點E，使得△DCE的面積最大，點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$），△DCE的面積的最大值為$\frac{125}{16}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及對稱問題中的最短線路問題，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）找出點P的位置；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時，利用分割圖形法求面積是關(guān)鍵，對于不能直接求面積的圖形，我們一般都是將其分解成多個能直接求面積的圖形，在今后的練習中應加強該方面的練習．