Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，點D為BC的中點，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，當點P離開點A后，過點P作PE⊥AB交BC于點E，過點E作EF⊥AC于F，設點P運動時間為t（秒），矩形PEFA與△ADE重疊部分的面積為S平方單位長度．
（1）PE的長為$\frac{3}{4}$（4-t）（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求S與t之間的函數(shù)表達式；
（3）求S的最大值及S取得最大值時t的值；
（4）當S為△ABC面積的$\frac{1}{10}$時，t的值有4個．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EP∥AC，得$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，列出比例式即可解決．
（2）分兩種情形討論①如圖1中，當0＜t≤2時，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$•EG•AP即可計算，②如圖2中，當2＜t≤4時，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$•GE•AF即可計算．
（3）分兩種情形，利用配方法根據(jù)二次函數(shù)性質即可解決．
（4）分兩種情形，列出方程即可解決，注意檢驗是否符合題意．

解答 解：（1）如圖1中，∵EP∥AC，
∴$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，
∴$\frac{PE}{3}$=$\frac{4-t}{4}$，
∴PE=$\frac{3}{4}$（4-t）．
故答案為$\frac{3}{4}$（4-t）．
（2）①當0＜t≤2時，
∵∠BAC=90°，CD=DB，
∴∠DAB=∠B，∵∠APG=∠BAC=90°，
∴△APG∽△BAC，
∴$\frac{PG}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PG}{3}$=$\frac{t}{4}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$t，
∴EG=3-$\frac{3}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•EG•AP=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t．
②當2＜t≤4時如圖2中，∵∠FAG=∠C，∠AFG=∠BAC，
∴△AFG∽△CAB，
∴$\frac{FG}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴FG=4-t，GE=2t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$•GE•AF=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{2}t$-6．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{3}{2}t}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{9}{2}t-6}&{（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）當0＜t≤2時，S=-$\frac{3}{4}$（t-1）²+$\frac{3}{4}$，∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴t=1時，S最大值為$\frac{3}{4}$，
當2＜t≤4時，S=-$\frac{3}{4}$（t-3）²+$\frac{3}{4}$，∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴t=3時，S最大值為$\frac{3}{4}$．
綜上所述t=1或3時，S最大值都是$\frac{3}{4}$．
（4）由題意-$\frac{3}{2}\\;{t}^{2}$t²+$\frac{3}{2}$t=$\frac{6}{10}$，整理得到5t²-10t+4=0，t=$\frac{5±\sqrt{5}}{5}$符合題意．
或-$\frac{3}{4}\\;{t}^{2}$t²+$\frac{9}{2}$t-6=$\frac{6}{10}$，整理得到5t²-30t+44=0，t=$\frac{15±\sqrt{5}}{5}$符合題意，
∴S為△ABC面積的$\frac{1}{10}$時，t的值有四個，
故答案為4．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、二次函數(shù)的性質、三角形面積等知識，解題的關鍵是學會分類討論，構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．