Question

10．如圖所示，直線y₁=$\frac{1}{4}x+1$與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P，作PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)和反比例函數(shù)y₂的解析式；
（2）請(qǐng)直接寫出y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍；
（3）反比例函數(shù)y₂圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得直線與x軸和y軸的交點(diǎn)，根據(jù)AC=BC可得OA=OB，則B的坐標(biāo)即可求得，BP=2OC，則P的坐標(biāo)可求出，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）求y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍，就是求直線位于反比例函數(shù)圖象上邊時(shí)對(duì)應(yīng)的x的范圍；
（3）連接DC與PB交于點(diǎn)E，若四邊形BCPD是菱形時(shí)，CE=DE，則CD的長(zhǎng)即可求得，從而求得D的坐標(biāo)，判斷D是否在反比例函數(shù)的圖象上即可．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y₁=$\frac{1}{4}$x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴A（-4，0），C（0，1），
又∵AC=BC，CO⊥AB，
∴O是AB的中點(diǎn)，即OA=OB=4，且BP=2OC=2，
∴P的坐標(biāo)是（4，2），
將P（4，2）代入y₂=$\frac{m}{x}$得m=8，即反比例函數(shù)的解析式為y₂=$\frac{8}{x}$；
（2）當(dāng)x＞4時(shí)，y₁＞y₂；
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于點(diǎn)E．
∵四邊形BCPD是菱形，
∴CE=DE=4，
∴CD=8，
將x=8代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{8}{x}$得y=1，
∴D的坐標(biāo)是（8，1），即反比例函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)D使四邊形BCPD是菱形，此時(shí)D的坐標(biāo)是（8，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)、反比函數(shù)以及菱形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解菱形的性質(zhì)求得D的坐標(biāo)是關(guān)鍵．