Question

如圖所示，在銳角△ABC中，AB=BC，點(diǎn)O是邊AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作⊙O的切線MN交BC于點(diǎn)N．求證：CM²=CN•CB．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連接BM、OM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)證明∠MBC=∠CMN，證明△CMN∽△CBM，得到

CM

BC

=

CN

CM

，從而證得．

解答：證明：連接BM、OM．
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，即BM⊥AC．
又∵AB=BC，
∴∠ABM=∠MBC，
∵M(jìn)N是圓的切線，
∴OM⊥MN，即∠OMN=90°，
∴∠OMB=∠CMN，
∵OB=OC，
∴∠OMB=∠ABM，
∴∠MBC=∠CMN，
又∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CBM，
∴

CM

BC

=

CN

CM

，
∴CM²=CN•CB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，和相似三角形的判定與性質(zhì)，證明等積式成立，常用的方法是轉(zhuǎn)化為證明比例式，然后轉(zhuǎn)化為證明三角形相似．