Question

如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且OA=2OH
（1）求k的值；
（2）點N（a，1）是反比例函y=

k

x

（x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PM+PN最�。咳舸嬖冢�求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）先由直線y=2x+2與y軸交于A點，求出A點坐標為（0，2），OA=2，根據(jù)OA=2OH，得出OH=1．由MH⊥x軸可知M點橫坐標為1，而點M在直線y=2x+2上，所以當(dāng)x=1時，y=2×1+2=4，即M（1，4），再將點M的坐標代入y=

k

x

，即可求出k的值；
（2）先由點N（a，1）是反比例函y=

4

x

（x＞0）圖象上的點，求出a=4，即點N（4，1）．再作N關(guān)于x軸的對稱點N′，連結(jié)MN′，交x軸于點P，此時PM+PN最�。�根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩點的坐標特征得出點N′（4，-1），利用待定系數(shù)法求出直線MN′的解析式，再令y=0，求出x的值，進而得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=2x+2與y軸交于A點，
∴A點坐標為（0，2），OA=2，
∵OA=2OH，
∴OH=1．
∵MH⊥x軸，
∴M點橫坐標為1，
∵點M在直線y=2x+2上，
∴當(dāng)x=1時，y=2×1+2=4，
∴M（1，4），
∵點M在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴k=1×4=4；

（2）存在．
∵點N（a，1）是反比例函y=

4

x

（x＞0）圖象上的點，
∴a=4，即點N（4，1）．
作N關(guān)于x軸的對稱點N′，連結(jié)MN′，交x軸于點P，此時PM+PN最�。�
∵N與N′關(guān)于x軸，點N（4，1），
∴點N′（4，-1）．
設(shè)直線MN′的解析式為y=mx+n，
則

m+n=4 4m+n=-1

，解得

m=- 5 3 n= 17 3

，
∴直線MN′的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

，
令y=0，得x=

17

5

，
∴點P的坐標為（

17

5

，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及軸對稱的性質(zhì)．