Question

2．如果點(diǎn)P將線段AB分成兩條相等的線段AP和PB，那么點(diǎn)P叫做線段AB的二分點(diǎn)（中點(diǎn)）；如果點(diǎn)P₁、P₂將線段AB分成三條相等的線段AP₁、P₁P₂和P₂B，那么點(diǎn)P₁、P₂叫做線段AB的三分點(diǎn)；依此類推，如果點(diǎn)P₁、P₂、…、P_n-1將線段AB分成n條相等的線段AP₁、P₁P₂、P₂P₃、…、P_n-1B，那么點(diǎn)P₁、P₂、…、P_n-1叫做線段AB的n等分點(diǎn)，如圖（1）所示

已知點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題；
（1）在所給邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中，探究：
①如圖（2），若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是4個(gè)單位和2個(gè)單位，那么線段AB的中點(diǎn)P到直線l的距離是3單位．
②如圖（3），若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是2個(gè)單位和5個(gè)單位，那么線段AB的中點(diǎn)P到直線l的距離是$\frac{7}{2}$單位．
③由①②可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是h個(gè)單位和t個(gè)單位，那么線段AB的中點(diǎn)P到直線l的距離是$\frac{h+t}{2}$單位．
（2）如圖（4），若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是d₁和d₂，利用（1）中的結(jié)論求線段AB的三等分點(diǎn)P₁、P₂到直線l的距離$\frac{28rxdjlx_{1}+mrjw9p7_{2}}{3}$，$\frac{jy9o9kn_{1}+2p9ut9kr_{2}}{3}$
（3）若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是d₁和d₂，點(diǎn)P₁、P₂、…P_n-1為線段AB的n等分點(diǎn)，則第i個(gè)n等分點(diǎn)P_i到直線l的距離是$\frac{（n-1）uj737ov_{1}+i4cdtzll_{2}}{n}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線定理以及梯形的中位線定理進(jìn)行計(jì)算．
（2）設(shè)P₁M=x，由（1）中結(jié)論可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，則P₂N=2x-d₁，由（1）中結(jié)論可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P₂N，即$\frac{x+wb4hzz8_{2}}{2}$=2x-d₁，易求即點(diǎn)₁、P₂到直線l的距離分別為$\frac{29plkqvh_{1}+m9fqb4b_{2}}{3}$、$\frac{chp35wp_{1}+2hfzreez_{2}}{3}$；
（3）根據(jù)（1）、（2）的規(guī)律總結(jié)第i個(gè)n等分點(diǎn)P_i到直線l的距離．

解答 解：（1）①如圖（2），AB在直線l的同側(cè)，則線段AB的中點(diǎn)P到直線l的距離是$\frac{1}{2}$×（4+2）=3（cm）；
故答案是：3；
②如圖（3），若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是2個(gè)單位和5個(gè)單位，那么線段AB的中點(diǎn)P到直線l的距離是：$\frac{2+5}{2}$=$\frac{7}{2}$（單位）．
故答案是：$\frac{7}{2}$；
③由①②可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是h個(gè)單位和t個(gè)單位，那么線段AB的中點(diǎn)P到直線l的距離是 $\frac{h+t}{2}$單位．
故答案是：$\frac{h+t}{2}$．

（2）如圖（4），設(shè)P₁M=x，由（1）中結(jié)論可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，
∴P₂N=2x-d₁，
由（1）中結(jié)論可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P₂N，即$\frac{x+4a4xmtt_{2}}{2}$=2x-d₁，
解方程得x=$\frac{2hm7nj7z_{1}+zsrxtva_{2}}{3}$，
∴P₂N=$\frac{nbhbftf_{1}+2kutioj9_{2}}{3}$，即點(diǎn)₁、P₂到直線l的距離分別為$\frac{275pvv43_{1}+lvghlng_{2}}{3}$、$\frac{7mtgatj_{1}+2bj4xdzs_{2}}{3}$，
若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是d₁和d₂，利用（1）中的結(jié)論求線段AB的三等分點(diǎn)P₁、P₂到直線l的距離 $\frac{2vbm99lv_{1}+hq77iid_{2}}{3}$，$\frac{j9j4j48_{1}+2htn4bo7_{2}}{3}$．

（3）若點(diǎn)A、B到直線l的距離分別是d₁和d₂，點(diǎn)P₁、P₂、…P_n-1為線段AB的n等分點(diǎn)，則第i個(gè)n等分點(diǎn)P_i到直線l的距離是 $\frac{（n-1）p4yzrd9_{1}+ie5lr4ll_{2}}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離．解題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．