Question

13．已知矩形ABCD的一條邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，若AO、CO的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²+2（m-1）x+m²+11=0的兩個(gè)根，則矩形的面積為5$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)可知：AO=CO，即x的方程x²+2（m-1）x+m²+11=0的兩根相等，所以△=0，即可把m的值求出，利用勾股定理可求出矩形的另外一邊長(zhǎng)，再利用矩形的面積計(jì)算即可

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=CO，∠A=90°，
∵AO、CO的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²+2（m-1）x+m²+11=0的兩個(gè)根，
∴△=[2（m-1）]²-4×1×（m²+11）=0，
4（m²-2m+1）-4m²-44=0，
-8m+4-44=0，
m=-5，
則原方程為：x²-12x+36=0，
（x-6）²=0，
x₁=x₂=6，
∴AO=CO=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∴S_矩形ABCD=AB×AD=5$\sqrt{11}$，
故答案為：5$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、根的判別式的運(yùn)用以及勾股定理、解一元二次方程的方法、矩形的面積公式的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．