Question

在平面直角坐標(biāo)系中我們把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)成稱為夢(mèng)之點(diǎn)．例如點(diǎn)（-1，-1），（0，0），（

2

，

2

），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)．
（1）若點(diǎn)P（2，m）是正比例函數(shù)y=nx的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)y=3x-5的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）函數(shù)y=kx-k+1（k≠1）的圖象上有“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)夢(mèng)之點(diǎn)的定義，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)夢(mèng)之點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)夢(mèng)之點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）由點(diǎn)P（2，m）是正比例函數(shù)y=nx的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，得
m=2，即P（2，2）．
把P（2，2）代入y=nx，得n=1，
這個(gè)正比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=x；
（2）函數(shù)y=3x-5的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”，設(shè)“夢(mèng)之點(diǎn)”是（a，a），
把（a，a）代入y=3x-5得
a=3a-5．
解得a=

5

2

，即“夢(mèng)之點(diǎn)”是（

5

2

，

5

2

），
故函數(shù)y=3x-5的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”是（

5

2

，

5

2

）；
（3）函數(shù)y=kx-k+1（k≠1）的圖象上有“夢(mèng)之點(diǎn)”，設(shè)“夢(mèng)之點(diǎn)”是（b，b），
把（b，b）代入y=kx-k+1（k≠1），得b=kb-k+1．
化簡(jiǎn)，得b-kb=1-k．
解得b=1，
即“夢(mèng)之點(diǎn)”是（1，1），
故函數(shù)y=kx-k+1（k≠1）的圖象上有“夢(mèng)之點(diǎn)”是（1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義，解一元一次方程．