Question

如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，BN⊥CD于點(diǎn)N，BM，BN分別交AC于點(diǎn)E、F．求證：AE=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，對角相等可得∠BAM=∠BCN，對角線平分一組對角線可得∠BAE=∠DAE=∠DCA=∠BCF，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABE=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△CBF全等，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，∠BAM=∠BCN，∠BAE=∠DAE=∠DCA=∠BCF，
又∵∠AMB=∠CNB=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，

∠BAE=∠BCF AB=BC ∠ABE=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．