Question

18．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（-2，0），（x₁，0）且1＜x₁＜2，與y軸正半軸的交點在（0，2）的下方，下列結論：①a＜b＜c；②b²-4ac＞-8a；③4a+c＜0；④2a-b+1＜0．其中正確結論是（填寫序號）①③．

Answer 1

分析 采用形數結合的方法解題，根據拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號，把兩根關系與拋物線與x的交點情況結合起來分析問題．

解答 解：①因為圖象與x軸兩交點為（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，
對稱軸x=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$=-$\frac{2a}$，
則對稱軸-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{2a}$＜0，且a＜0，
∴a＜b＜0，
由拋物線與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，①正確；
②假設b²-4ac＞-8a成立，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}$＞2，
∴拋物線的頂點縱坐標應該大于2，
由題可知：拋物線與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，拋物線的對稱軸大于-1
∴頂點一定在這個交點的上方，但不代表頂點縱坐標應該大于2．
∴假設不成立，即②錯誤；
③設x₂=-2，則x₁x₂=$\frac{c}{a}$，而1＜x₁＜2，
∴-4＜x₁x₂＜-2，
∴-4＜$\frac{c}{a}$＜-2，
∴2a+c＞0，4a+c＜0．
∴③正確；
④拋物線過（-2，0），則4a-2b+c=0，而c＜2，則4a-2b+2＞0，即2a-b+1＞0．④錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線與X軸的交點，二次函數與系數的關系等知識點的理解和掌握，能根據圖象確定與系數有關的式子的符號是解此題的關鍵．