Question

1．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，4），且與直線y=-$\frac{1}{2}$x+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（-3，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)解析式求出A、B的坐標(biāo)，然后把（-1，4），A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$）分別代入y=ax²+bx+c得到a、b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）利用函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)N（x，-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1），則M（x，-$\frac{1}{2}$x+1），然后用x表示出MN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求MN的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x+1=1，則A（0，1），
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x+1=$\frac{5}{2}$，則B（-3，$\frac{5}{2}$），
把（-1，4），A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$）分別代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{c=1}\\{9a-3b+c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{5}{4}$，b=-$\frac{17}{4}$，c=1，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1；
（2）設(shè)N（x，-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1），則M（x，-$\frac{1}{2}$x+1），
所以MN=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1-（-$\frac{1}{2}$x+1）=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x=-$\frac{5}{4}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，MN有最大值，最大值為$\frac{45}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．