Question

4．如圖，拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+AM的值最小時(shí)，求M的坐標(biāo)；
（4）在線段BC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，求△PBC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式來求b的值；然后把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由兩點(diǎn)間的距離公式分別求出AC，BC，AB的長，再根據(jù)勾股定理即可判斷出△ABC的形狀；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2$\sqrt{5}$；
（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于F．利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，繼而可得線段PF的長，然后利用面積和即S_△PBC=S_△CPF+S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF×BO，即可求出．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$得到：0=$\frac{1}{2}$×（-1）²-b-2，
解得b=-$\frac{3}{2}$，
則該拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
又∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．則C（0，-2）．
又∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）由（2）知，B（4，0），C（0，-2），
由拋物線的性質(zhì)可知：點(diǎn)A和B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如答圖1所示：
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2$\sqrt{5}$．
∴CM+AM的最小值是2$\sqrt{5}$；

（4）如答圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于F．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-2（k≠0）．
把B（4，0）代入，得
0=4k-2，
解得k=$\frac{1}{2}$．
故直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2．
故設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），則F（m，$\frac{1}{2}$m-2），
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m-2-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×4=-（m-2）²+4，即S_△PBC=-（m-2）²+4，
∴當(dāng)m=2時(shí)，△PBC面積的最大值是4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合，認(rèn)真分析，仔細(xì)識(shí)圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形面積的求法．