Question

18．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤y₁與投資量x成正比例關系，種植花卉的利潤y₂與投資量x的平方成正比例關系，并得到了表格中的數(shù)據(jù)．

投資量x（萬元）	2
種植樹木利潤y1（萬元）	4
種植花卉利潤y2（萬元）	2

（1）分別求出利潤y₁與y₂關于投資量x的函數(shù)關系式；
（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，設他投入種植花卉金額m萬元，種植花卉和樹木共獲利利潤W萬元，直接寫出W關于m的函數(shù)關系式，并求他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？
（3）若該專業(yè)戶想獲利不低于22萬，在（2）的條件下，直接寫出投資種植花卉的金額m的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設y₁=kx、y₂=ax²，將表格中數(shù)據(jù)分別代入求解可得；
（2）由種植花卉m萬元（0≤m≤8），則投入種植樹木（8-m）萬元，根據(jù)“總利潤=花卉利潤+樹木利潤”列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可；
（3）根據(jù)獲利不低于22萬，列出不等式求解可得．

解答 解：（1）設y₁=kx，
由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)y₁=kx的圖象過（2，4），
∴4=k•2，
解得：k=2，
故利潤y₁關于投資量x的函數(shù)關系式是y₁=2x（x≥0）；
∵設y₂=ax²，
由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故利潤y₂關于投資量x的函數(shù)關系式是：y₂=$\frac{1}{2}$x²（x≥0）；

（2）因為種植花卉m萬元（0≤m≤8），則投入種植樹木（8-m）萬元，
w=2（8-m）+$\frac{1}{2}$m²=$\frac{1}{2}$m²-2m+16=$\frac{1}{2}$（m-2）²+14，
∵a=0.5＞0，0≤m≤8，
∴當m=2時，w的最小值是14，
∵a=$\frac{1}{2}$＞0，
∴當m＞2時，w隨m的增大而增大
∵0≤m≤8，
∴當m=8時，w的最大值是32，
答：他至少獲得14萬元利潤，他能獲取的最大利潤是32萬元．

（3）根據(jù)題意，當w=22時，$\frac{1}{2}$（m-2）²+14=22，
解得：m=-2（舍）或m=6，
故：6≤m≤8．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．