Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一象限的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（

3

4

、

2

3

），由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點(diǎn)E、F．
（1）分別求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）求△OEF的面積；
（3）分別計(jì)算AF與BE的值；
（4）△AOF與△BOE是否一定相似，請(qǐng)予以證明；如果不一定相似或一定不相似，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,探究型,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）首先求得直線AB的解析式，E的橫坐標(biāo)是

3

4

，代入解析式即可求得縱坐標(biāo)，F(xiàn)的縱坐標(biāo)是

2

3

，代入解析式即可求得橫坐標(biāo)；
（2）利用割補(bǔ)法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根據(jù)相似三角形的判定定理SAS證明△AOF∽△BOE．

解答：（1）解：設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意，得：

k+b=0 b=1

，
解得：

k=-1 b=1

，
則直線AB的解析式是：y=-x+1，
當(dāng)x=

3

4

時(shí)，y=

1

4

；
當(dāng)y=

2

3

時(shí)，x=

1

3

．
則點(diǎn)E（

3

4

，

1

4

），點(diǎn)F（

1

3

，

2

3

）；

（2）解：S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF
=

1

2

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

2

3

×

1

3

-

1

2

×（

3

4

+

2

3

-1）²
=

1

2

-

3

32

-

1

9

-

25

288

=

5

24

；

（3）解：BE=

( 3 4 )2+( 3 4 )2

=

3 2

4

，
AF=

( 2 3 )2+( 2 3 )2

=

2 2

3

；

（4）△AOF∽△BEO，
證明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO；
∵AF•BE=1；
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

；
∴△AOF∽△BEO．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題、相似三角形的判定及勾股定理．解答（4）題時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，圖象上所有的點(diǎn)都滿(mǎn)足函數(shù)解析式．