Question

如圖，在⊙O中，CD為弦，EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD，EC，F(xiàn)D分別交直徑AB于E，F(xiàn)兩點．
（1）求證：AE=BF；
（2）當弦CD與直徑AB相交時，其他條件不變，結(jié)論成立嗎？試另畫出圖形，不用證明；
（3）若把條件EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD改成AE⊥CD，BF⊥CD，AE，BF分別交CD于E，F(xiàn)兩點，則結(jié)論會有什么變化？試另畫圖并加以證明．

Answer 1

考點：垂徑定理,梯形中位線定理

專題：幾何圖形問題,探究型

分析：（1）過點O作OH⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到CH=DH，由于FD⊥CD，EC⊥CD，所以CE∥OH∥DF，于是可判斷OH為梯形CDFE的中位線，則OE=OF，然后利用等量減等量差相等即可得到結(jié)論；
（2）當弦CD與直徑AB相交時，根據(jù)敘述即可作出圖形，與（1）的方法相同，即可寫出結(jié)論；
（3）作OM⊥CD，根據(jù)垂徑定理和平行線分線段成比例定理即可證得．

解答：（1）證明：過點O作OH⊥CD，如圖1，
則CH=DH，
∵FD⊥CD，EC⊥CD，
∴CE∥OH∥DF，
∴OH為梯形CDFE的中位線，
∴點O為EF的中點，即OE=OF，
而OA=OB，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=BF；
（2）AE=DF．圖形如2．
；
（3）如圖3．結(jié)論：EC=DF．
證明：作OM⊥CD，則CM=DM．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OM∥BF，
又∵OA=OB，
∴EM=FM，
∴EC=DF．

點評：本題考查了垂徑定理和平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線是關鍵．