Question

4．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+2（m+1）x-m+1與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，其對稱軸是直線x=4．
（1）求拋物線的解析式是頂點坐標(biāo)；
（2）求C點的坐標(biāo)及△ABC的面積；
（3）已知與x軸平行的直線y=t及拋物線對稱軸上的點D（4，t+1），問是否存在這樣的t值，使得拋物線上任意一點P（a，b）到這條直線的距離等于P點到D點的距離？若存在，則請求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由對稱軸x=-$\frac{2a}$，求得m的數(shù)值，得出函數(shù)解析式，再進一步求得頂點坐標(biāo)即可；
（2）令x=0求得與y軸交點C的坐標(biāo)，令y=0得出與x軸交點的A、B兩個坐標(biāo)，進一步求得△ABC的面積即可；
（3）設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用兩點之間的距離求得PE、PD，聯(lián)立方程，求得t的數(shù)值，則存在，否則不存在．

解答 解：（1）由x=-2（m+1）=4，
解得m=-3，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-4x+4，頂點坐標(biāo)為（4，-4）；
（2）拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-4x+4與y軸交于點C的坐標(biāo)為（0，4），
令y=$\frac{1}{2}$x²-4x+4=0，
解得：x₁=4+2$\sqrt{2}$，x₂=4-2$\sqrt{2}$，
點A的坐標(biāo)為（4-2$\sqrt{2}$，0），B的坐標(biāo)為（4+2$\sqrt{2}$，0），
因此△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$；
（3）存在這樣的t值，使得拋物線上任意一點P（a，b）到這條直線的距離等于P點到D點的距離．
設(shè)P點的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m²-4m+4），點D（4，t+1），
PE=$\frac{1}{2}$m²-4m+4-t，
PD=$\sqrt{（4-m）^{2}+[t+1-（\frac{1}{2}{m}^{2}-4m+4）]^{2}}$
則$\frac{1}{2}$m²-4m+4-t=$\sqrt{（4-m）^{2}+[t+1-（\frac{1}{2}{m}^{2}-4m+4）]^{2}}$，
解得：t=-$\frac{9}{2}$，
因此當(dāng)t=-$\frac{9}{2}$使得拋物線上任意一點P（a，b）到這條直線的距離等于P點到D點的距離．

點評 此題考查二次函數(shù)的綜合試題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，兩點之間的距離公式，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．