Question

5．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：
如圖1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且∠CDE=90°．當(dāng)BE=2AD時(shí)，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請(qǐng)找出并加以證明，若不存在，說明理由．
小明通過探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對(duì)全等三角形（如圖2），從而將解決問題．

請(qǐng)回答：
（1）小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是DE．
（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：
（3）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，BD=2DC，點(diǎn)E在AD上，且∠BEC=135°，求$\frac{BE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接寫出答案；
（2）先判斷出∠ADC=ADC=∠FEDFED，在判斷出FE=AD，即可判斷出△FEDFED≌△ADCADC即可；
（3）先判斷出∠FBE=FBE=∠GECGEC，進(jìn)而得出△BFEBFE∽△EGC，得出$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{EG}=\frac{FE}{GC}$，再判斷出FE=2EG，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）DE；
故答案為：DE；
（2）證明：作EF⊥AB，垂足為F．
則∠BFE=∠DFE=90°═∠A═∠CDE．
∵∠ADC+∠CDE=∠ADE=∠DFE+∠FED，
∴∠ADC=∠FED．
∵∠BFE=90°，∠B=30°，
∴BE=2FE．
∵BE=2AD，
∴FE=AD．
在△FED和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FED=∠ADC}\\{∠DFE=∠CAD}\\{FE=AD}\end{array}\right.$
∴△FED≌△ADC．
∴DE=CD
（3）如圖3，

過點(diǎn)E作BC的平行線，與AB、AC分別相交于點(diǎn)F、G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°，∠BFE=135°=∠EGC．
∴AF=AG．BF=GC．
∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE，
∴∠FBE=∠GEC
∴△BFE∽△EGC．
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{EG}=\frac{FE}{GC}$，
∵FG∥BC，
∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，
∴$\frac{FE}{BD}=\frac{AE}{AD}$，$\frac{AE}{AD}=\frac{EG}{DC}$，
∴$\frac{FE}{BD}=\frac{EG}{DC}$
∵BD=2DC，
∴FE=2EG，
∴$\frac{BF}{EG}=\frac{EF}{CG}=\frac{2EG}{BF}$，
∴$\frac{BF}{EG}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{EG}=\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出FE=2EG，是一道比較簡單的中考�？碱}．